6 outils mathématiques gratuits pour les nombres qui ne se comporteront pas

Les mathématiques dont vous avez réellement besoin sur un ordinateur ne sont pas celles sur lesquelles vous avez été examiné. La question est la suivante : ce nombre est-il dans le format attendu par le système, cette fraction est-elle simplifiée, à quelle vitesse augmente-t-elle et pourquoi la calculatrice et la feuille de calcul sont-elles en désaccord.

Ces six outils couvrent ce territoire. Ils fonctionnent localement, ce qui, du point de vue arithmétique, signifie un avantage spécifique qui mérite d'être mentionné : le numéro que vous avez tapé n'est envoyé nulle part, vous pouvez donc vérifier un calcul impliquant un salaire, un solde ou le chiffre d'un client sans hésiter.

Les ordinateurs stockent les fractions décimales sous forme de fractions binaires. 0,1 n'est pas exactement représentable en binaire — la valeur double précision la plus proche est 0,1000000000000000055511151231257827. Ajoutez 0,1 + 0,2 et vous obtenez 0,30000000000000004, qui s'imprime sous la forme 0,3 par défaut et interrompt discrètement un contrôle d'égalité.

La notation scientifique vaut la peine d'être maîtrisée, car c'est la différence entre lire une ligne de journal et plisser les yeux. 6.022e23, 1.6e-19 et 3e8 sont le nombre d'Avogadro, la charge élémentaire et la vitesse de la lumière. Si ceux-ci ressemblent à du bruit plutôt qu'à des chiffres, la conversion de quelques-uns via l'outil le corrige de manière permanente.

Les nombres premiers ne sont pas un exercice scolaire. La sécurité de chaque connexion HTTPS que vous établissez dépend du fait qu'il est facile de multiplier deux grands nombres premiers et qu'il est difficile de prendre en compte le résultat. Cette asymétrie est la base même du RSA.

Au quotidien, la vérification des nombres premiers concerne principalement les fractions. Simplifier une fraction signifie diviser le haut et le bas par leur plus grand facteur commun, et vous ne pouvez pas le trouver sans factorisation. C'est pourquoi ces deux outils vont de pair : vérifiez les facteurs, puis obtenez le GCF et le LCM en une seule étape.

La moitié du LCM est celle que les gens oublient, et c'est celle qui résout les problèmes de planification : deux événements qui se répètent tous les 18 jours et tous les 12 jours coïncident tous les 36 jours. Même arithmétique, application différente.

Les factorielles croissent plus rapidement que presque tout ce que vous rencontrez à un bureau. 10 ! est d'environ 3,6 millions. 20 ! est d’environ 2,4 quintillions – soit largement plus grand que le nombre de grains de sable sur Terre. 52 !, le nombre de façons de mélanger un jeu de cartes, est d'environ 8 suivis de 67 chiffres.

La conséquence pratique est qu'un programme qui énumère toutes les permutations est correct à 5 éléments, tolérable à 8 et bloqué en permanence à 12. Si une tâche donne l'impression qu'elle ne se terminera jamais et que vous parcourez les permutations, c'est presque certainement pourquoi. C’est aussi l’argument contre la plupart des approches par force brute, présenté comme de l’arithmétique plutôt que comme une opinion.

Les chiffres romains méritent d'être compris plutôt que simplement convertis, car le système révèle quelque chose sur la notation positionnelle. Il n'y a pas de zéro, ni de valeur de position : XI signifie onze, qu'il représente onze bâtons ou onze mille. C’est pourquoi l’arithmétique en chiffres romains est véritablement difficile et pourquoi le système a survécu pendant des siècles principalement pour le comptage et la datation plutôt que pour le calcul.

La règle soustractive est la partie où les gens se trompent. IV vaut quatre, pas VI ; IX est neuf. Les horloges sont une exception célèbre : Big Ben utilise IIII plutôt que IV, pour des raisons sur lesquelles les historiens débattent encore. Convertir plutôt que dériver est la bonne décision dans tous les cas.

Une recette nécessite 0,375 tasse et une balance qui indique en grammes, un rapport cite un ratio de 0,625, et les deux ressemblent à des chiffres que quelqu'un a tapés à la hâte.

Ils ne montrent pas leur travail et n'enseignent pas. Si vous avez besoin de comprendre pourquoi une formule est vraie, une calculatrice n’est pas le bon instrument : elle donne la réponse sans raison, c’est ainsi que les gens finissent par être capables de calculer et incapables de raisonner.

Ils ne font pas non plus preuve de précision arbitraire. Les factorielles et les grandes factorisations perdront en précision au-delà du point où la réponse est encore utile, et un onglet de navigateur n'est pas un système de calcul formel. Pour tout ce qui importe vraiment – ​​ingénierie, finance, cryptographie – utilisez une bibliothèque appropriée avec une arithmétique exacte, pas une page Web.

L’habitude mathématique la plus précieuse n’est pas la vitesse, c’est l’estimation. Avant de croire un résultat, demandez-vous s'il s'agit du bon ordre de grandeur : plus grand ou plus petit que l'entrée, et de combien environ. La plupart des erreurs arithmétiques survivent à tous les autres contrôles, sauf celui-ci.

L’arrondi rend d’abord l’estimation gratuite. Arrondissez 0,375 à 0,4, arrondissez 5/8 à 0,6, et le rapport est évidemment d'environ 2:3 – suffisamment proche de 3:5 pour confirmer exactement la fraction que vous avez calculée. Si la réponse exacte et l'estimation ne sont pas d'accord, vous avez trouvé une erreur de saisie plutôt qu'un problème d'arrondi, et vous l'avez trouvé en quelques secondes.

C’est aussi pourquoi une calculatrice ne remplace pas la réflexion sur ce que vous lui avez demandé. Un outil calculera parfaitement la mauvaise quantité, et la seule défense est de savoir à quoi devrait ressembler la réponse.

Ma contribution est-elle envoyée n'importe où ? Non. Tous ces éléments s'exécutent localement dans votre navigateur.

Pourquoi 0,1 plus 0,2 n'est-il pas égal à 0,3 ? Parce que ni 0,1 ni 0,2 ne sont exactement représentables en virgule flottante binaire. La somme est de 0,30000000000000004, ce qui est le double le plus proche de 0,3.

Quelle taille de factorielle peuvent-ils gérer ? Jusqu'à 170 avant de dépasser la plage d'un double. Au-delà de cela, la réponse est affichée en notation scientifique et cesse alors d'avoir du sens.

Puis-je utiliser la sortie dans le code ? Oui. Pour les résultats décimaux en fractions en particulier, utilisez l'arithmétique entière sur le numérateur et le dénominateur plutôt que de reconvertir en nombre décimal.

Utilisez des fractions exactes lorsque de l'argent est en jeu, rappelez-vous que les factorielles explosent plus rapidement que prévu et que la factorisation première est à la fois un fondement de sécurité et une astuce de simplification des fractions.