6 kostenlose Mathe-Tools für Zahlen, die sich nicht verhalten

Die Mathematik, die Sie tatsächlich am Computer benötigen, ist nicht die Mathematik, die Sie geprüft haben. Es geht darum: Hat diese Zahl das vom System erwartete Format, ist dieser Bruch vereinfacht, wie schnell wächst er und warum stimmen der Rechner und die Tabelle nicht überein.

Diese sechs Tools decken dieses Gebiet ab. Sie laufen lokal, was für die Arithmetik einen besonderen Vorteil bedeutet, der erwähnt werden sollte: Die von Ihnen eingegebene Zahl wird nirgendwohin gesendet, sodass Sie eine Berechnung, die ein Gehalt, einen Kontostand oder eine Kundenzahl betrifft, bedenkenlos überprüfen können.

Computer speichern Dezimalbrüche als Binärbrüche. 0,1 ist im Binärformat nicht genau darstellbar – der nächste Wert mit doppelter Genauigkeit ist 0,1000000000000000055511151231257827. Addieren Sie 0,1 + 0,2 und Sie erhalten 0,30000000000000004, was standardmäßig als 0,3 ausgegeben wird und eine Gleichheitsprüfung stillschweigend unterbricht.

Es lohnt sich, die wissenschaftliche Notation fließend zu beherrschen, denn sie macht den Unterschied zwischen dem Lesen einer Protokollzeile und dem Hinsehen darauf aus. 6,022e23, 1,6e-19 und 3e8 sind Avogadros Zahl, die Elementarladung und die Lichtgeschwindigkeit. Wenn diese eher wie Rauschen als wie Zahlen aussehen, lässt sich das Problem durch die Konvertierung einiger weniger mit dem Tool dauerhaft beheben.

Primzahlen sind keine Schulaufgabe. Die Sicherheit jeder HTTPS-Verbindung, die Sie herstellen, hängt von der Tatsache ab, dass die Multiplikation zweier großer Primzahlen einfach ist und das Zurückrechnen des Ergebnisses schwierig ist. Diese Asymmetrie ist die gesamte Grundlage von RSA.

Für alltägliche Zwecke geht es bei der Primzahlprüfung hauptsächlich um Brüche. Einen Bruch zu vereinfachen bedeutet, den oberen und unteren Teil durch ihren größten gemeinsamen Teiler zu dividieren, und das lässt sich ohne Faktorisierung nicht finden. Deshalb gehören diese beiden Tools zusammen: Faktoren prüfen, dann GCF und LCM in einem Schritt ermitteln.

Die LCM-Hälfte vergessen die Leute und sie löst Planungsprobleme: Zwei Ereignisse, die sich alle 18 Tage und alle 12 Tage wiederholen, fallen alle 36 Tage zusammen. Gleiche Arithmetik, andere Anwendung.

Fakultäten wachsen schneller als fast alles, was Sie an einem Schreibtisch treffen. 10! beträgt etwa 3,6 Millionen. 20! beträgt etwa 2,4 Trillionen – bei weitem mehr als die Anzahl der Sandkörner auf der Erde. 52!, die Anzahl der Möglichkeiten, ein Kartenspiel zu mischen, beträgt ungefähr 8, gefolgt von 67 Ziffern.

Die praktische Konsequenz ist, dass ein Programm, das alle Permutationen auflistet, bei 5 Elementen in Ordnung ist, bei 8 tolerierbar ist und bei 12 dauerhaft hängen bleibt. Wenn eine Aufgabe das Gefühl hat, dass sie niemals beendet wird und Sie Permutationen in einer Schleife durchlaufen, ist dies mit ziemlicher Sicherheit der Grund. Es ist auch das Argument gegen die meisten Brute-Force-Ansätze, das eher als Arithmetik denn als Meinung formuliert wird.

Es lohnt sich, römische Ziffern zu verstehen und nicht nur umzuwandeln, da das System etwas über die Positionsschreibweise verrät. Es gibt keine Null und keinen Stellenwert: XI bedeutet elf, egal ob es elf Stöcke oder elftausend darstellt. Aus diesem Grund ist das Rechnen mit römischen Zahlen wirklich schwierig und das System überlebte Jahrhunderte lang hauptsächlich zum Zählen und Datieren und nicht zum Rechnen.

Die Subtraktionsregel ist der Teil, den Menschen falsch machen. IV ist vier, nicht VI; IX ist neun. Uhren sind eine berühmte Ausnahme – Big Ben verwendet IIII anstelle von IV, aus Gründen, über die Historiker immer noch streiten. Konvertieren statt Ableiten ist in jedem Fall die richtige Entscheidung.

Ein Rezept benötigt 0,375 Tassen und eine Skala, die in Gramm anzeigt, ein Bericht gibt ein Verhältnis von 0,625 an und beide sehen aus wie Zahlen, die jemand in Eile getippt hat.

Sie zeigen nicht, dass sie arbeiten, und sie unterrichten nicht. Wenn Sie verstehen möchten, warum eine Formel wahr ist, ist ein Taschenrechner das falsche Instrument – ​​er gibt die Antwort ohne Angabe des Grundes, was dazu führt, dass Menschen am Ende rechnen können, aber nicht in der Lage sind, vernünftig zu argumentieren.

Sie erreichen auch keine willkürliche Präzision. Fakultäten und große Faktorisierungen verlieren an Genauigkeit, wenn die Antwort noch nützlich ist und ein Browser-Tab kein Computeralgebrasystem ist. Für alles, wo es wirklich auf Korrektheit ankommt – Technik, Finanzen, Kryptographie – verwenden Sie eine richtige Bibliothek mit exakter Arithmetik und keine Webseite.

Die wertvollste mathematische Gewohnheit ist nicht die Geschwindigkeit, sondern das Schätzen. Bevor Sie einem Ergebnis glauben, fragen Sie, ob es in der richtigen Größenordnung liegt: größer oder kleiner als die Eingabe und um ungefähr den Betrag. Die meisten Rechenfehler überleben jede zweite Prüfung außer dieser.

Durch vorheriges Runden ist die Schätzung kostenlos. Runden Sie 0,375 auf 0,4, runden Sie 5/8 auf 0,6, und das Verhältnis beträgt offensichtlich etwa 2:3 – nahe genug an 3:5, um den Bruch zu bestätigen, den Sie genau berechnet haben. Wenn die genaue Antwort und die Schätzung nicht übereinstimmen, liegt eher ein Eingabefehler als ein Rundungsproblem vor, und zwar innerhalb von Sekunden.

Aus diesem Grund ist ein Taschenrechner auch kein Ersatz dafür, darüber nachzudenken, was Sie von ihm verlangt haben. Ein Tool berechnet die falsche Menge perfekt, und die einzige Verteidigung besteht darin, zu wissen, wie sich die Antwort anfühlen sollte.

Wird meine Eingabe irgendwohin gesendet? Nein. Alle diese werden lokal in Ihrem Browser ausgeführt.

Warum ist 0,1 plus 0,2 nicht gleich 0,3? Weil weder 0,1 noch 0,2 im binären Gleitkomma exakt darstellbar sind. Die Summe beträgt 0,30000000000000004, was dem Doppelten von 0,3 am nächsten kommt.

Wie groß kann eine Fakultät sein? Bis zu 170, bevor der Bereich eines Doubles überschritten wird. Danach wird die Antwort in wissenschaftlicher Notation angezeigt und ist dann nicht mehr aussagekräftig.

Kann ich die Ausgabe im Code verwenden? Ja. Verwenden Sie insbesondere für die Dezimal-Bruch-Ergebnisse die Ganzzahlarithmetik für Zähler und Nenner, anstatt sie zurück in eine Dezimalzahl umzuwandeln.

Verwenden Sie exakte Brüche, wenn es um Geld geht. Denken Sie daran, dass Fakultäten schneller explodieren als erwartet, und dass die Primfaktorzerlegung sowohl eine Sicherheitsgrundlage als auch ein Trick zur Vereinfachung von Brüchen ist.