6 herramientas matemáticas gratuitas para números que no se comportan bien

Las matemáticas que realmente necesitas en una computadora no son las matemáticas que te examinaron. Es: ¿está este número en el formato que espera el sistema?, ¿está simplificada esta fracción?, ¿a qué velocidad crece? y ¿por qué la calculadora y la hoja de cálculo no están de acuerdo?

Estas seis herramientas cubren ese territorio. Se ejecutan localmente, lo que para la aritmética significa un beneficio específico que vale la pena mencionar: el número que ingresas no se envía a ninguna parte, por lo que puedes verificar un cálculo que involucra un salario, un saldo o una cifra de cliente sin pensarlo dos veces.

Las computadoras almacenan fracciones decimales como fracciones binarias. 0,1 no es exactamente representable en binario: el valor de doble precisión más cercano es 0,1000000000000000055511151231257827. Agregue 0,1 + 0,2 y obtendrá 0,30000000000000004, que se imprime como 0,3 de forma predeterminada y rompe silenciosamente una verificación de igualdad.

Vale la pena dominar la notación científica, porque es la diferencia entre leer una línea de registro y entrecerrar los ojos. 6.022e23, 1.6e-19 y 3e8 son el número de Avogadro, la carga elemental y la velocidad de la luz. Si parecen ruido en lugar de números, convertir algunos a través de la herramienta lo soluciona permanentemente.

Los números primos no son un ejercicio escolar. La seguridad de cada conexión HTTPS que realice depende del hecho de que multiplicar dos números primos grandes es fácil y factorizar el resultado es difícil. Esa asimetría es la base entera de RSA.

Para fines cotidianos, la verificación prima se trata principalmente de fracciones. Simplificar una fracción significa dividir la parte superior e inferior por su máximo común divisor, y no puedes encontrar eso sin factorizar. Es por eso que estas dos herramientas van juntas: verifique los factores y luego obtenga el MCD y el LCM en un solo paso.

La mitad LCM es la que la gente olvida, y es la que soluciona los problemas de programación: dos eventos que se repiten cada 18 días y cada 12 días coinciden cada 36 días. Misma aritmética, diferente aplicación.

Los factoriales crecen más rápido que casi cualquier cosa que encuentres en un escritorio. 10! es de unos 3,6 millones. 20! es aproximadamente 2,4 quintillones, mayor que el número de granos de arena de la Tierra por un amplio margen. ¡52!, el número de formas de barajar una baraja de cartas, es aproximadamente 8 seguido de 67 dígitos.

La consecuencia práctica es que un programa que enumera todas las permutaciones está bien en 5 elementos, tolerable en 8 y permanentemente bloqueado en 12. Si parece que una tarea nunca terminará y estás recorriendo permutaciones, es casi seguro que ese sea el motivo. También es el argumento en contra de la mayoría de los enfoques de fuerza bruta, expresado como aritmética más que como opinión.

Vale la pena entender los números romanos en lugar de simplemente convertirlos, porque el sistema revela algo sobre la notación posicional. No hay cero ni valor posicional: XI significa once, ya sea que represente once palos o once mil. Por eso la aritmética en números romanos es realmente difícil, y por eso el sistema sobrevivió durante siglos principalmente para contar y fechar, más que para calcular.

La regla sustractiva es la parte en la que la gente se equivoca. IV es cuatro, no VI; IX es nueve. Los relojes son una famosa excepción: el Big Ben usa IIII en lugar de IV, por razones sobre las que los historiadores aún discuten. Convertir en lugar de derivar es la decisión correcta en todos los casos.

Una receta necesita 0,375 tazas y una báscula que lea en gramos, un informe cita una proporción de 0,625 y ambos parecen números que alguien escribió apresuradamente.

No se muestran trabajando y no enseñan. Si necesita comprender por qué una fórmula es verdadera, una calculadora es el instrumento equivocado: da la respuesta sin la razón, que es la razón por la que las personas terminan siendo capaces de calcular e incapaces de razonar.

Tampoco hacen precisión arbitraria. Los factoriales y las factorizaciones grandes perderán precisión más allá del punto en que la respuesta siga siendo útil, y una pestaña del navegador no es un sistema de álgebra informática. Para cualquier cosa donde la corrección realmente importe (ingeniería, finanzas, criptografía), utilice una biblioteca adecuada con aritmética exacta, no una página web.

El hábito matemático más valioso no es la velocidad, sino la estimación. Antes de creer en cualquier resultado, pregúntese si es el orden de magnitud correcto: mayor o menor que la entrada, y aproximadamente en qué medida. La mayoría de los errores aritméticos sobreviven a todas las demás comprobaciones excepto a ésta.

Redondear primero hace que la estimación sea gratuita. Redondea 0,375 a 0,4, redondea 5/8 a 0,6 y la proporción es obviamente de aproximadamente 2:3, lo suficientemente cerca de 3:5 para confirmar la fracción que calculaste exactamente. Si la respuesta exacta y la estimación no coinciden, habrá encontrado un error de entrada en lugar de un problema de redondeo, y lo encontró en segundos.

Esta es también la razón por la que una calculadora no sustituye a pensar en lo que le preguntaste. Una herramienta calculará perfectamente la cantidad incorrecta y la única defensa es saber cómo debería ser la respuesta.

¿Mi entrada se envía a algún lugar? No. Todos estos se ejecutan localmente en su navegador.

¿Por qué 0,1 más 0,2 no es igual a 0,3? Porque ni 0,1 ni 0,2 son exactamente representables en coma flotante binaria. La suma es 0,30000000000000004, que es el doble más cercano a 0,3.

¿Qué tamaño de factorial pueden manejar? Hasta 170 antes de exceder el rango de un doble. Más allá de eso, la respuesta se muestra en notación científica y luego deja de ser significativa.

¿Puedo usar la salida en código? Sí. En particular, para los resultados de conversión de decimal a fracción, utilice la aritmética de números enteros en el numerador y el denominador en lugar de volver a convertir a decimal.

Utilice fracciones exactas cuando se trate de dinero, recuerde que los factoriales explotan más rápido de lo esperado y que la factorización prima es a la vez una base de seguridad y un truco para simplificar fracciones.