6 bezpłatnych narzędzi matematycznych do obliczania liczb, które nie będą działać

Matematyka, której faktycznie potrzebujesz na komputerze, nie jest matematyką, z której byłeś sprawdzany. Jest to: czy ta liczba ma format oczekiwany przez system, czy ten ułamek jest uproszczony, jak szybko rośnie i dlaczego kalkulator i arkusz kalkulacyjny się nie zgadzają.

Te sześć narzędzi obejmuje ten obszar. Działają lokalnie, co dla arytmetyki oznacza jedną konkretną korzyść, którą warto wymienić: wpisany numer nie jest nigdzie wysyłany, dzięki czemu możesz bez namysłu sprawdzić wyliczenie dotyczące wynagrodzenia, salda czy liczby klientów.

Komputery przechowują ułamki dziesiętne jako ułamki binarne. Wartość 0,1 nie jest dokładnie przedstawiana w formacie binarnym — najbliższa wartość podwójnej precyzji to 0,1000000000000000055511151231257827. Dodaj 0,1 + 0,2, a otrzymasz 0,30000000000000004, które domyślnie wyświetla wartość 0,3 i po cichu przerywa sprawdzanie równości.

Warto biegle posługiwać się notacją naukową, bo to różnica pomiędzy czytaniem linii logarytmicznej a mrużeniem na nią oczu. 6,022e23, 1,6e-19 i 3e8 to liczba Avogadra, ładunek elementarny i prędkość światła. Jeśli wyglądają one jak szum, a nie liczby, konwersja kilku za pomocą narzędzia naprawi problem na stałe.

Liczby pierwsze nie są ćwiczeniem szkolnym. Bezpieczeństwo każdego połączenia HTTPS zależy od tego, że pomnożenie dwóch dużych liczb pierwszych jest łatwe, a rozłożenie wyniku na czynniki trudne. Ta asymetria jest podstawą RSA.

Na co dzień sprawdzanie liczb pierwszych dotyczy głównie ułamków. Uproszczenie ułamka oznacza podzielenie góry i dołu przez ich największy wspólny dzielnik, a nie można tego znaleźć bez rozkładu na czynniki. Dlatego te dwa narzędzia są ze sobą powiązane: sprawdź czynniki, a następnie uzyskaj GCF i LCM w jednym kroku.

O połowie LCM ludzie zapominają i to ona rozwiązuje problemy z planowaniem: dwa zdarzenia powtarzające się co 18 i co 12 dni pokrywają się co 36 dni. Ta sama arytmetyka, inne zastosowanie.

Silnie rosną szybciej niż prawie wszystko, co spotykasz przy biurku. 10! wynosi około 3,6 miliona. 20! wynosi około 2,4 tryliona – znacznie więcej niż liczba ziaren piasku na Ziemi. 52!, liczba sposobów przetasowania talii kart, wynosi w przybliżeniu 8, po których następuje 67 cyfr.

Praktyczną konsekwencją jest to, że program wyliczający wszystkie permutacje jest w porządku przy 5 elementach, tolerowany przy 8 i trwale utknięty przy 12. Jeśli wydaje Ci się, że zadanie nigdy się nie zakończy, a Ty krążysz po permutacjach, prawie na pewno jest to powód. Jest to także argument przeciwko większości podejść opartych na brutalnej sile, określanych raczej jako arytmetyka niż opinia.

Cyfry rzymskie warto zrozumieć, a nie tylko przeliczać, ponieważ system ujawnia coś na temat notacji pozycyjnej. Nie ma zera ani wartości miejsca: XI oznacza jedenaście, niezależnie od tego, czy reprezentuje jedenaście drążków, czy jedenaście tysięcy. Właśnie dlatego arytmetyka cyfr rzymskich jest naprawdę trudna i dlatego system ten przetrwał stulecia, głównie do liczenia i datowania, a nie do obliczeń.

Zasada odejmowania to ta część, w której ludzie się mylą. IV to cztery, nie VI; IX to dziewięć. Zegary są słynnym wyjątkiem – Big Ben używa raczej IIII niż IV, z powodów, o których historycy wciąż się spierają. Konwersja zamiast wyprowadzania jest właściwym rozwiązaniem w każdym przypadku.

Przepis wymaga 0,375 filiżanki i skali w gramach, raport podaje stosunek 0,625, a oba wyglądają jak liczby wpisane przez kogoś w pośpiechu.

Nie pokazują pracy i nie uczą. Jeśli chcesz zrozumieć, dlaczego formuła jest prawdziwa, kalkulator jest niewłaściwym narzędziem — podaje odpowiedź bez powodu, w związku z czym ludzie potrafią liczyć, ale nie potrafią rozumować.

Nie wykonują też dowolnej precyzji. Silnie i duże rozkłady na czynniki stracą dokładność po osiągnięciu punktu, w którym odpowiedź jest nadal użyteczna, a karta przeglądarki nie jest systemem algebry komputerowej. We wszystkim, gdzie naprawdę liczy się poprawność — w inżynierii, finansach, kryptografii — używaj odpowiedniej biblioteki z dokładną arytmetyką, a nie strony internetowej.

Najcenniejszym nawykiem matematycznym nie jest szybkość, lecz szacowanie. Zanim uwierzysz w jakikolwiek wynik, zapytaj, czy jest to właściwy rząd wielkości: większy czy mniejszy od danych wejściowych i mniej więcej o ile. Większość błędów arytmetycznych przetrwa każde inne sprawdzenie z wyjątkiem tego.

Zaokrąglenie w pierwszej kolejności sprawia, że ​​oszacowanie jest bezpłatne. Zaokrąglij 0,375 do 0,4, zaokrąglij 5/8 do 0,6, a stosunek wynosi oczywiście około 2:3 — wystarczająco blisko 3:5, aby potwierdzić dokładnie obliczony ułamek. Jeśli dokładna odpowiedź i oszacowanie nie zgadzają się, zamiast problemu z zaokrągleniem znalazłeś błąd wejściowy, i znalazłeś go w ciągu kilku sekund.

Z tego też powodu kalkulator nie zastępuje myślenia o tym, o co go zapytałeś. Narzędzie doskonale obliczy nieprawidłową wielkość, a jedyną obroną jest wiedza, jak powinna wyglądać odpowiedź.

Czy moje dane wejściowe są gdziekolwiek wysyłane? Nie. Wszystkie działają lokalnie w Twojej przeglądarce.

Dlaczego 0,1 plus 0,2 nie równa się 0,3? Ponieważ ani 0,1, ani 0,2 nie są dokładnie reprezentowalne w binarnej liczbie zmiennoprzecinkowej. Suma wynosi 0,30000000000000004, co jest wartością podwójną najbliższą 0,3.

Jak dużą silnię mogą one obsłużyć? Do 170 przed przekroczeniem zakresu podwójnego. Po tym czasie odpowiedź jest wyświetlana w notacji naukowej i przestaje mieć znaczenie.

Czy mogę użyć wyniku w kodzie? Tak. W szczególności w przypadku wyników z ułamka dziesiętnego na ułamek należy stosować arytmetykę liczb całkowitych w liczniku i mianowniku, zamiast konwertować z powrotem na liczbę dziesiętną.

Używaj ułamków dokładnych, gdy w grę wchodzą pieniądze, pamiętaj, że silnie eksplodują szybciej, niż się spodziewasz, a rozkład na czynniki pierwsze jest zarówno podstawą bezpieczeństwa, jak i sztuczką upraszczającą ułamki.