6 strumenti matematici gratuiti per numeri che non si comportano bene

I calcoli di cui hai effettivamente bisogno al computer non sono i calcoli su cui sei stato esaminato. È: questo numero è nel formato previsto dal sistema, questa frazione è semplificata, quanto velocemente cresce e perché la calcolatrice e il foglio di calcolo non sono d'accordo.

Questi sei strumenti coprono quel territorio. Funzionano localmente, il che per l'aritmetica significa un vantaggio specifico che vale la pena menzionare: il numero digitato non viene inviato da nessuna parte, quindi puoi controllare senza pensarci due volte un calcolo riguardante uno stipendio, un saldo o la cifra di un cliente.

I computer memorizzano le frazioni decimali come frazioni binarie. 0,1 non è esattamente rappresentabile in formato binario: il valore a doppia precisione più vicino è 0,1000000000000000055511151231257827. Aggiungi 0,1 + 0,2 e ottieni 0,30000000000000004, che viene stampato come 0,3 per impostazione predefinita e interrompe silenziosamente un controllo di uguaglianza.

Vale la pena padroneggiare la notazione scientifica, perché è la differenza tra leggere una riga di registro e strizzare gli occhi. 6.022e23, 1.6e-19 e 3e8 sono il numero di Avogadro, la carica elementare e la velocità della luce. Se questi sembrano rumore piuttosto che numeri, convertirne alcuni tramite lo strumento risolve il problema in modo permanente.

I numeri primi non sono un esercizio scolastico. La sicurezza di ogni connessione HTTPS che stabilisci dipende dal fatto che moltiplicare due grandi numeri primi è facile e fattorizzare il risultato è difficile. Questa asimmetria è l’intera base della RSA.

Per gli scopi quotidiani, il controllo principale riguarda principalmente le frazioni. Semplificare una frazione significa dividere il massimo e il minimo per il loro massimo comun divisore, e non è possibile trovarlo senza fattorizzare. Ecco perché questi due strumenti vanno insieme: controlla i fattori, quindi ottieni GCF e LCM in un unico passaggio.

La metà LCM è quella che le persone dimenticano, ed è quella che risolve i problemi di programmazione: due eventi che si ripetono ogni 18 giorni e ogni 12 giorni coincidono ogni 36 giorni. Stessa aritmetica, diversa applicazione.

I fattoriali crescono più velocemente di quasi tutto ciò che incontri alla scrivania. 10! è di circa 3,6 milioni. 20! è di circa 2,4 quintilioni – di gran lunga maggiore del numero di granelli di sabbia sulla Terra. 52!, il numero di modi per mescolare un mazzo di carte, è circa 8 seguito da 67 cifre.

La conseguenza pratica è che un programma che enumera tutte le permutazioni va bene con 5 elementi, tollerabile con 8 e permanentemente bloccato con 12. Se un'attività sembra non finire mai e stai ripetendo le permutazioni, questo è quasi certamente il motivo. È anche l’argomentazione contro la maggior parte degli approcci basati sulla forza bruta, dichiarati come aritmetici piuttosto che come opinioni.

Vale la pena comprendere i numeri romani anziché limitarsi a convertirli, perché il sistema rivela qualcosa sulla notazione posizionale. Non c'è zero e nessun valore posizionale: XI significa undici sia che rappresenti undici bastoncini o undicimila. Questo è il motivo per cui l’aritmetica con i numeri romani è davvero difficile, e perché il sistema è sopravvissuto per secoli principalmente per il conteggio e la datazione piuttosto che per il calcolo.

La regola sottrattiva è la parte che le persone sbagliano. IV è quattro, non VI; IX è nove. Gli orologi sono una famosa eccezione: il Big Ben usa IIII anziché IV, per ragioni su cui gli storici discutono ancora. Convertire piuttosto che derivare è la scelta giusta in ogni caso.

Una ricetta richiede 0,375 tazze e una scala che legga in grammi, un rapporto riporta un rapporto pari a 0,625 ed entrambi sembrano numeri digitati in fretta.

Non mostrano di lavorare e non insegnano. Se hai bisogno di capire perché una formula è vera, una calcolatrice è lo strumento sbagliato: dà la risposta senza la ragione, ed è così che le persone finiscono per essere in grado di calcolare e incapaci di ragionare.

Inoltre non eseguono una precisione arbitraria. Fattoriali e fattorizzazioni di grandi dimensioni perderanno precisione oltre il punto in cui la risposta è ancora utile e una scheda del browser non è un sistema di algebra informatica. Per qualsiasi cosa in cui la correttezza sia veramente importante (ingegneria, finanza, crittografia) usa una libreria adeguata con l'aritmetica esatta, non una pagina web.

L’abitudine matematica più preziosa non è la velocità, è la stima. Prima di credere a qualsiasi risultato, chiediti se è il giusto ordine di grandezza: più grande o più piccolo dell'input e all'incirca di quanto. La maggior parte degli errori aritmetici sopravvivono a ogni altro controllo tranne questo.

Il primo arrotondamento rende la stima gratuita. Arrotonda 0,375 a 0,4, arrotonda 5/8 a 0,6 e il rapporto è ovviamente di circa 2:3, abbastanza vicino a 3:5 per confermare esattamente la frazione che hai calcolato. Se la risposta esatta e la stima non sono d'accordo, hai trovato un errore di input anziché un problema di arrotondamento e lo hai trovato in pochi secondi.

Questo è anche il motivo per cui una calcolatrice non sostituisce il pensare a ciò che le è stato chiesto. Uno strumento calcolerà perfettamente la quantità sbagliata e l'unica difesa è sapere come dovrebbe essere la risposta.

Il mio contributo viene inviato ovunque? No. Tutti questi vengono eseguiti localmente nel tuo browser.

Perché 0,1 più 0,2 non è uguale a 0,3? Perché né 0,1 né 0,2 sono esattamente rappresentabili in virgola mobile binaria. La somma è 0,30000000000000004, che è il doppio più vicino a 0,3.

Quanto è grande il fattoriale che possono gestire? Fino a 170 prima di superare l'intervallo di un doppio. Dopodiché la risposta viene visualizzata in notazione scientifica e quindi smette di essere significativa.

Posso utilizzare l'output nel codice? Sì. In particolare, per i risultati da decimale a frazione, utilizzare l'aritmetica dei numeri interi sul numeratore e sul denominatore anziché riconvertire in un decimale.

Usa le frazioni esatte quando è coinvolto il denaro, ricorda che i fattoriali esplodono più velocemente di quanto ti aspetti e la fattorizzazione in fattori primi è sia una base di sicurezza che un trucco per semplificare le frazioni.